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南宋杨辉与河图洛书

文章出处: 发布时间:2009-03-18 作者:九数 点击:

 
【宇明网】

杨辉,字谦光,南宋钱塘(今杭州)人。《宋史》无传,其生卒年月及生平事迹无从详考。他是当时杰出的算学家,著述甚多,有名的算书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷(1261年),《日用算法》二卷(1262年),《乘除通变本末》三卷(1274年),《田亩比类乘除算法》二卷(1275年),《续古摘奇算法》二卷(1275年)。在杨辉的著作中,最有影响的独创成果是“纵横图”。

(一)河洛新篇,创纵横图

杨辉给出的纵横图,记录在《续古摘奇算法》卷上。其中有方阵十三幅,它们是:洛书数一幅,四四图两幅,五五图两幅,六六图两幅,七七图两幅,六十四图两幅,九九图一幅,百子图一幅,其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。另有圆形六幅,名之为:聚五图,聚六图,聚八图,攒九图,八阵图,连环图。

《续古摘奇算法》在杨辉的算学著作中,比较特别,这是一本类似笔记体的著作。纵横图记载在这里的卷上,可以看出杨辉本人是非常珍视这些研究的。

在古人眼中,河图洛书是算学文化的渊薮。南宋杨辉是古代世界第一位将河图洛书在规模上加以发展的算学家。河图,纵横各一线,圆图形式;洛书,纵横各三线,方图形式。河图洛书这样的圆点数阵模式,杨辉称为纵横图。

什么是纵横图呢?如果给出一个范围很小的形式,可以说:纵横图是一个n行n列的平面数字方阵,每一行的和,每一列的和,每条对角线的和,都相等。更大范围的形式,可以说成是由数构成的具有某种特性的结构体。

在杨辉的这些纵横图中,我以为最有趣的有三个,依次是:洛书,四四阴图,九九图。

[1] 洛书,杨辉留下了简易的构造口诀,后世研究发展为构造单数(2k+1)阶方阵。

[2] 四四阴图,杨辉也留下了构造口诀,后世研究发展为构造双偶数(4k)阶方阵。这样的方阵,构造转盘模式,依然有非常广阔的空间。可是,由于没有中心数字,因而也就无法在整体上实现形如卍字符的螺旋结构。

[3] 九九图,这个图非常有趣,是用全息构造的办法完成的。在前面的短文《洛书旋机与全息构造》中,我仔细的谈过这一方法。当初,我写那篇短文的时候,本来想选择杨辉的九九图,再三推敲放弃了,实际上我选择的图和杨辉的图还是有某种连系。一般来说,这样的结构会有某些独特的性质。不过,在规模上发展较快,如果仍然用洛书模式,下一个就是二十七阶方阵了。太大的方阵,已经失去了简易的准则。

需要指出的一点是,这三种类型的方阵都遵循洛书旋机方程组,从某种意义上讲,这样的方阵和洛书最有亲缘,它们携带着洛书的文化基因。

洛书旋机方程组

数字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3

(二)洛书口诀,至简至易

杨辉留下的洛书口诀:九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出;戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足。

自古以来,洛书的排列,人们只是靠记忆的方式传习。杨辉从自然排列经由巧妙的变化得出洛书排列,这一步堪称至简至易。从此,不用特殊的聪明,一位小小孩童也可以依照口诀顷刻间完成洛书排列。这个例子非常典型的反映着古代算学文化的特点,注重算法构造,崇尚程式操作。

四九二
三五七
八一六

正向取数

4→9→2→3→5→7→8→1→6,2→7→6→9→5→1→4→3→8,
6→1→8→7→5→3→2→9→4,8→3→4→1→5→9→6→7→2;

反向取数

4→3→8→9→5→1→2→7→6,8→1→6→3→5→7→4→9→2,
6→7→2→1→5→9→8→3→4,2→9→4→7→5→3→6→1→8。

数字等和

492357816+276951438+618753294+834159672=2 222 222 220
438951276+816357492+672159834+294753618=2 222 222 220

平方等和

492357816^2+276951438^2+618753294^2+834159672^2
=1 397 796 315 213 555 720
438951276^2+816357492^2+672159834^2+294753618^2
=1 397 796 315 213 555 720

立方等和

492357816^3+276951438^3+618753294^3+834159672^3
=957 918 414 658 638 784 383 442 800
438951276^3+816357492^3+672159834^3+294753618^3
=957 918 414 658 638 784 383 442 800

一二三
四五六
七八九

正向取数

1→2→3→6→9→8→7→4,3→6→9→8→7→4→1→2,
9→8→7→4→1→2→3→6,7→4→1→2→3→6→9→8;

反向取数

1→4→7→8→9→6→3→2,7→8→9→6→3→2→1→4,
9→6→3→2→1→4→7→8,3→2→1→4→7→8→9→6。

数字等和

12369874+36987412+98741236+74123698=222 222 220
14789632+78963214+96321478+32147896=222 222 220

平方等和

12369874^2+36987412^2+98741236^2+74123698^2=16 765 236 721 236 520
14789632^2+78963214^2+96321478^2+32147896^2=16 765 236 721 236 520

立方等和

12369874^3+36987412^3+98741236^3+74123698^3
=1 422 464 020 933 435 203 974 800
14789632^3+78963214^3+96321478^3+32147896^3
=1 422 464 020 933 435 203 974 800

前者为洛书排列,后者为自然排列,计算表明,二者有非常深刻的连系。非常简单的九个数字,非常简单的排列,却以非常自然的方式创造出一组非常奇妙的等式,不能不赞叹这是数字王国展现的奇妙世界。

(三)花十六图,独步天下

当年,杨辉认真的将洛书作为一个数的模式加以研究,由三阶方阵向更大规模的方阵推演,首先出现的就是四阶方阵。杨辉称四阶纵横图为“花十六图”,也称“四四图”。他给出了两图,阳图和阴图。从三三得九到四四十六,这是非常卓越的一步。

阳图

02,16,13,03
11,05,08,10
07,09,12,06
14,04,01,15

阴图

04,09,05,16
14,07,11,02
15,06,10,03
01,12,08,13

在《续古摘奇算法》中,对于阴图,杨辉留下了构造方法,和洛书一样,仍然从自然排列的四行四列方阵开始研究。这里简单介绍一下,所列图式,皆为该步骤完成后的结果。

步骤一:以十六子依次第作四行排列。

13,09,05,01
14,10,06,02
15,11,07,03
16,12,08,04

步骤二:先以外四角对换,一换十六,四换十三。后以内四角对换,六换十一,七换十。

04,09,05,16
14,07,11,02
15,06,10,03
01,12,08,13

经检验,诸行诸列及对角线上四数和皆为三十四,纵横图成立。

行:04+09+05+16=34,14+07+11+02=34,15+06+10+03=34,01+12+08+13=34。
列:04+14+15+01=34,09+07+06+12=34,05+11+10+08=34,16+02+03+13=34。
斜:04+07+10+13=34,16+11+06+01=34。

04,09,05,16
14,○,○,02
15,○,○,03
01,12,08,13

正向取数

01→15→14→04→09→05→16→02→03→13→08→12,
04→09→05→16→02→03→13→08→12→01→15→14,
16→02→03→13→08→12→01→15→14→04→09→05,
13→08→12→01→15→14→04→09→05→16→02→03;

反向取数

01→12→08→13→03→02→16→05→09→04→14→15,
13→03→02→16→05→09→04→14→15→01→12→08,
16→05→09→04→14→15→01→12→08→13→03→02,
04→14→15→01→12→08→13→03→02→16→05→09。

数字等和

011514040905160203130812+040905160203130812011514+
160203130812011514040905+130812011514040905160203
=343 434 343 434 343 434 343 434
011208130302160509041415+130302160509041415011208+
160509041415011208130302+041415011208130302160509
=343 434 343 434 343 434 343 434

平方等和

011514040905160203130812^2+040905160203130812011514^2+
160203130812011514040905^2+130812011514040905160203^2
=44 582 630 747 529 542 458 528 985 720 399 555 500 760 571 774
011208130302160509041415^2+130302160509041415011208^2+
160509041415011208130302^2+041415011208130302160509^2
=44 582 630 747 529 542 458 528 985 720 399 555 500 760 571 774

立方等和

011514040905160203130812^3+040905160203130812011514^3+
160203130812011514040905^3+130812011514040905160203^3
=6 420 017 212 108 530 116 715 661 478 912 622 002 713 259 069 423 010 161 074 979 665 715 124
011208130302160509041415^3+130302160509041415011208^3+
160509041415011208130302^3+041415011208130302160509^3
=6 420 017 212 108 530 116 715 661 478 912 622 002 713 259 069 423 010 161 074 979 665 715 124

(四)全息构造,无穷奥妙

杨辉留下了一幅九九图,自一开始,至八十一,正合九九归真之数。后世研究者发现杨辉的这幅纵横图,是由洛书模式,采用全息构造的方式实现的。

31,76,13,36,81,18,29,74,11
22,40,58,27,45,63,20,38,56
67,04,49,72,09,54,65,02,47
30,75,12,32,77,14,34,79,16
21,39,57,23,41,59,25,43,61
66,03,48,68,05,50,70,07,52
35,80,17,28,73,10,33,78,15
26,44,62,19,37,55,24,42,60
71,08,53,64,01,46,69,06,51

四四,四九,四二,九四,九九,九二,二四,二九,二二
四三,四五,四七,九三,九五,九七,二三,二五,二七
四八,四一,四六,九八,九一,九六,二八,二一,二六
三四,三九,三二,五四,五九,五二,七四,七九,七二
三三,三五,三七,五三,五五,五七,七三,七五,七七
三八,三一,三六,五八,五一,五六,七八,七一,七六
八四,八九,八二,一四,一九,一二,六四,六九,六二
八三,八五,八七,一三,一五,一七,六三,六五,六七
八八,八一,八六,一八,一一,一六,六八,六一,六六

举个例子,这里“五八”转换为5+8*9-9=68。一般来说,我们将“xy”转换为数字x+9y-9;实际检验,可以看到这样转换的结果,正好得出杨辉的九九图。也许有人会问,杨辉当年真的是这样想的吗?这个问题好比是,画卦者真的是莱布尼兹说的那样思维吗?九数悟之,我们的所见只是自身的外化。

洛书中,可以看见卍字符。自然,由洛书采用全息构造得出的九九图也存在这样的结构。这里,我们只计算其中最大的一个形如卍字符的螺旋结构。卍字符,让人想起银河星系,我们好比置身在数字构造的星辰世界里。

31,76,13,36,81,○,○,○,11
○,○,○,○,45,○,○,○,56
○,○,○,○,09,○,○,○,47
○,○,○,○,77,○,○,○,16
21,39,57,23,41,59,25,43,61
66,○,○,○,05,○,○,○,○
35,○,○,○,73,○,○,○,○
26,○,○,○,37,○,○,○,○
71,○,○,○,01,46,69,06,51

卍字符正向取数

41→77→09→45→81→36→13→76→31,
41→23→57→39→21→66→35→26→71,
41→05→73→37→01→46→69→06→51,
41→59→25→43→61→16→47→56→11;

31,○,○,○,81,18,29,74,11
22,○,○,○,45,○,○,○,○
67,○,○,○,09,○,○,○,○
30,○,○,○,77,○,○,○,○
21,39,57,23,41,59,25,43,61
○,○,○,○,05,○,○,○,52
○,○,○,○,73,○,○,○,15
○,○,○,○,37,○,○,○,60
71,08,53,64,01,○,○,○,51

卍字符正向取数

41→77→09→45→81→18→29→74→11,
41→59→25→43→61→52→15→60→51,
41→05→73→37→01→64→53→08→71,
41→23→57→39→21→30→67→22→31。

数字等和

417709458136137631+412357392166352671+
410573370146690651+415925436116475611
=1 656 565 656 565 656 564
417709458118297411+415925436152156051+
410573370164530871+412357392130672231
=1 656 565 656 565 656 564

平方等和

417709458136137631^2+412357392166352671^2+
410573370146690651^2+415925436116475611^2
=686 084 270 972 912 771 763 917 972 771 753 524
417709458118297411^2+415925436152156051^2+
410573370164530871^2+412357392130672231^2
=686 084 270 972 912 771 763 917 972 771 753 524

立方等和

417709458136137631^3+412357392166352671^3+
410573370146690651^3+415925436116475611^3
=284 162 272 243 997 699 865 883 936 491 374 203 728 741 670 052 506 884
417709458118297411^3+415925436152156051^3+
410573370164530871^3+412357392130672231^3
=284 162 272 243 997 699 865 883 936 491 374 203 728 741 670 052 506 884

(五)数字未来,无限生机

洛书九数,是方图;河图用十,是圆图。当年,杨辉留下的纵横图,除了方图之外,还有圆图。其中有一幅圆图,被杨辉称作“聚八图”。全图用二十四个数,从一开始,布列在一个四圆环上,如杨辉所说“二十四子,作三十二子用”。

一个偶然的机会,这幅聚八图引起了我的注意。这里我们选取该图的中心结构,只有八个数,聚八之名正是由此而得。这八个数排列在两圆相交的位置上,为了书写简单将其排列如下。(完整的聚八图,此处略。)
05,□,□,18
□,08,19,□
□,17,06,□
20,□,□,07

上:05+08+19+18=50;下:17+20+07+06=50;
左:05+20+17+08=50;右:19+06+07+18=50;
内:08+19+17+06=50;外:05+20+07+18=50。

这八个数的排列呈现非常简明的加法等和现象。最特别的是,这幅“聚八图”让我想起了转法大法。我们翻开大法书《转法轮》,仔细看目录,从第一讲到第九讲,记下每讲中题目的个数。依次排列为:

目录顺序:一二三四五六七八九;
题目个数:七五十五八七五七六。

接着,将记录的数据写成:x1=7,x2=5,x3=10,x4=5,x5=8,x6=7,x7=5,x8=7,x9=6。然后,将x1到x8排列成如下形式。

x5,□,□,x8
□,x1,x4,□
□,x2,x3,□
x6,□,□,x7

上:x1+x4+x5+x8=7+5+8+7=27;
下:x2+x3+x6+x7=5+10+7+5=27;
左:x1+x2+x5+x6=7+5+8+7=27;
右:x3+x4+x7+x8=10+5+5+7=27;
内:x1+x2+x3+x4=7+5+10+5=27;
外:x5+x6+x7+x8=8+7+5+7=27。

明代有一本影响深广的著作《算法统宗》,对推动珠算技术的传播起了非常大的作用,作者是杰出的算学家程大位,这本书的开篇即是河图洛书。明清之际,许多算学家在杨辉的基础上发展,创造了更多新形式的成果,其中包括立体形式的崭新构造。后来,杨辉的著作也流传到了东边的岛国日本。日本算学家关孝和,对杨辉的著作认真研究,有了新的创见,也制作了不少纵横图。

杨辉的研究,也流传了西方。再往后,全世界范围内出现了更多的研究者,创造出了许多非常有趣的纵横图。到今日,纵横图已经成为全人类广泛普及的一笔宝贵知识财富。我所选择的这些内容,一直是顺着洛书这条线索展开的。洛书涵盖的领域,无限宽广,人类目前认识到的现象还相当肤浅。

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